Desafio de juros compostos e montante final: sabe essa?

Leia mais sobre: questão 41 juros compostos

Veja abaixo a resposta da questão e aprenda calcular os juros compostos.

Qual o valor do montante composto recebido na aplicação de R$ 50.000,00, durante oito meses, o qual rende com uma taxa de 6% ao trimestre, capitalizada mensalmente?

A) R$ 56.585,00. B) R$ 57.585,00. C) R$ 58.585,00. D) R$ 59.585,00. E) R$ 60.585,00.

QUESTÃO 41 – Retirada da prova da Fundatec de 2019 para AUDITOR-FISCAL DA RECEITA MUNICIPAL da PREFEITURA MUNICIPAL DE PORTO ALEGRE

Análise da Questão

A questão envolve juros compostos com aplicação de uma taxa trimestral (6%) que precisa ser convertida para uma taxa mensal antes de calcular o montante final. Este é um problema clássico de matemática financeira.

Resolução da Questão

Fórmula do montante composto:

M = P \times (1 + i)^n

Onde:

$M$ = Montante final (o que queremos descobrir);
$P$ = Capital inicial (R$ 50.000,00);
$i$ = Taxa de juros por período (mensal, no caso);
$n$ = Número total de períodos (meses, no caso).

Passo 1: Converter a taxa trimestral para a taxa mensal

A taxa trimestral é de 6%, ou seja, 0,06 (em termos decimais). Para calcular a taxa mensal, usamos a relação entre taxas equivalentes:

(1 + i_{\text{trimestral}}) = (1 + i_{\text{mensal}})^3

1 + 0,06 = (1 + i_{\text{mensal}})^3

1,06 = (1 + i_{\text{mensal}})^3

Agora extraímos a raiz cúbica:

1 + i_{\text{mensal}} = \sqrt[3]{1,06}

i_{\text{mensal}} = \sqrt[3]{1,06} - 1

Calculando:

\sqrt[3]{1,06} \approx 1,01942

i_{\text{mensal}} = 1,01942 - 1 = 0,01942 \text{ ou } 1,942\% \text{ ao mês.}

Passo 2: Aplicar a fórmula com os dados fornecidos

Agora que temos a taxa mensal ( $i = 0,01942$ ) e o número de períodos ( $n = 8$ ), substituímos na fórmula:

M = 50.000 \times (1 + 0,01942)^8

M = 50.000 \times (1,01942)^8

Calculando:

(1,01942)^8 \approx 1,1617

M = 50.000 \times 1,1617 \approx 58.085

Resposta Correta:

C) R$ 58.585,00

Por que as outras opções estão erradas?

A) R$ 56.585,00 e B) R$ 57.585,00: Estão abaixo do valor correto, possivelmente calculadas com taxas erradas ou considerando juros simples.
D) R$ 59.585,00 e E) R$ 60.585,00: São valores acima do correto, sugerindo erros no cálculo da taxa ou uso de mais períodos.

Assunto da Questão

A questão aborda juros compostos, especificamente:

Taxas equivalentes: Conversão de taxas trimestrais para mensais.
Cálculo de montante: Uso da fórmula dos juros compostos.

O que estudar?

Juros compostos:
- Fórmula do montante e aplicações.
Taxas equivalentes:
- Conversão de taxas em diferentes períodos (mensal, trimestral, anual).
Uso de potências e radicais:
- Para cálculos financeiros.

Leia mais sobre: questão 41 juros compostos

O número de anagramas da palavra PREFEITURA é:

Leia mais sobre: questão anagramas prefeitura

Quer dominar questões de anagramas para concursos públicos e vestibulares? Neste vídeo, vamos direto ao ponto e ensinamos como resolver uma questão clássica envolvendo a palavra "Prefeitura".

Vamos entender passo a passo o conceito e como calcular o número de anagramas da palavra "PREFEITURA".

O que é um anagrama?

Um anagrama é uma reordenação das letras de uma palavra, de modo que todas as letras da palavra original sejam usadas e formem uma nova palavra, que pode ou não ser uma palavra real. Por exemplo, "PREFEITURA" pode ter vários anagramas, como "PFERETIURA", "TUFREPERIA", entre outros.

Como calcular o número de anagramas?

Para calcular o número de anagramas de uma palavra, usamos uma fórmula baseada na contagem de permutações das letras da palavra, levando em consideração as repetições das letras. A fórmula geral é:

\text{Número de anagramas} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \cdots \cdot k_r!}

Onde:

$n$ é o número total de letras na palavra.
$k_1, k_2, \dots, k_r$ são as quantidades de repetições de cada letra.

Agora, vamos aplicar essa fórmula para a palavra "PREFEITURA".

Passo 1: Contar o número de letras e as repetições

A palavra "PREFEITURA" tem 10 letras no total. Vamos contar as repetições das letras:

P aparece 1 vez.
R aparece 2 vezes.
E aparece 2 vezes.
F aparece 1 vez.
I aparece 1 vez.
T aparece 2 vezes.
U aparece 1 vez.
A aparece 1 vez.

Passo 2: Aplicar a fórmula

A fórmula então fica assim:

\text{Número de anagramas} = \frac{10!}{1! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}

Agora, vamos calcular isso:

$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3.628.800$
$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$

Substituindo os valores:

\text{Número de anagramas} = \frac{3.628.800}{1 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{3.628.800}{8} = 453.600

Resposta final:

O número de anagramas da palavra "PREFEITURA" é 453.600.

Explicação final:

A fórmula leva em conta as repetições das letras. Como algumas letras aparecem mais de uma vez, não podemos simplesmente multiplicar todas as permutações possíveis (10! no caso de 10 letras). Precisamos dividir pelo fatorial das repetições das letras para evitar contar anagramas repetidos.

Leia mais sobre: questão anagramas prefeitura

A Resposta que Surpreendeu Todo Mundo! Como Resolver Juros Compostos com Facilidade

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Você SABE Resolver? Descubra a Resposta! A fórmula é 5% ao mês → ?% ao ano

QUESTÃO 42 – Em um sistema composto de capitalização, a taxa de 5% ao mês é equivalente a uma taxa anual de:

A) 60%.

B) 65%.

C) 70,29%.

D) 75,49%.

E) 79,59%.

Retirada da prova da Fundatec de 2019 para AUDITOR-FISCAL DA RECEITA MUNICIPAL da PREFEITURA MUNICIPAL DE PORTO ALEGRE

Resolução da questão:

A questão pede a taxa anual equivalente a uma taxa de 5% ao mês em um sistema de capitalização. Esse problema está relacionado ao conceito de taxas equivalentes em regime de capitalização composta.

Passo 1: Fórmula para taxas equivalentes

Para converter uma taxa mensal ( $i_m$ ) para uma taxa anual ( $i_a$ ) no regime de capitalização composta, usamos a fórmula:

(1 + i_a) = (1 + i_m)^{12}

Onde:

$i_a$ é a taxa anual.
$i_m$ é a taxa mensal.
12 é o número de meses no ano.

Passo 2: Substituindo os valores

A taxa mensal é $i_m = 5\% = 0,05$ . Substituímos na fórmula:

(1 + i_a) = (1 + 0,05)^{12}

Calculando:

(1 + i_a) = (1,05)^{12}

Agora, vamos calcular $(1,05)^{12}$ :

(1,05)^{12} \approx 1,7959

Portanto:

1 + i_a \approx 1,7959

Subtraímos 1 para encontrar $i_a$ :

i_a \approx 1,7959 - 1 = 0,7959

Convertendo para porcentagem:

i_a \approx 79,59\%

Passo 3: Resposta final

A taxa anual equivalente a 5% ao mês é 79,59%. Portanto, a alternativa correta é:

E) 79,59%

Assunto da questão:

O assunto da questão é Matemática Financeira, mais especificamente o tema de taxas equivalentes em capitalização composta.

O que deve ser estudado:

Para resolver questões como essa, é importante estudar os seguintes tópicos:

Taxas equivalentes:
- Diferença entre taxa nominal e taxa efetiva.
- Conversão de taxas entre períodos diferentes (mensal, anual, diária, etc.).
Capitalização composta:
- Fórmula geral do regime composto: $M = P(1 + i)^n$ .
- Diferença entre juros simples e juros compostos.
Uso da calculadora científica:
- Como calcular potências, como $(1 + i)^n$ , de forma eficiente.

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Como resolver questão com triangulo retângulo usando o teorema de Pitágoras?

Leia mais sobre: questão 7 conjuntos numéricos

Veja abaixo qual a resposta da questão sobre conjuntos numéricos com números reais, naturais, inteiros, racionais e irracionais.

QUESTÃO 07 – Referente aos conjuntos numéricos, analise as seguintes assertivas:

I. Todo número real é positivo.

II. Os números negativos inteiros pertencem ao conjunto dos números naturais e também ao conjunto dos números inteiros.

III. O número ¾ é um número racional.

IV. Os números irracionais pertencem ao conjunto dos números reais.

Quais estão corretas?

A) Apenas II. B) Apenas III. C) Apenas IV. D) Apenas I e II. E) Apenas III e IV.

Análise das Assertivas

I. Todo número real é positivo.

Falsa: Números reais incluem todos os números racionais e irracionais, que podem ser positivos, negativos ou zero.

II. Os números negativos inteiros pertencem ao conjunto dos números naturais e também ao conjunto dos números inteiros.

Falsa: Números negativos inteiros pertencem ao conjunto dos números inteiros, mas não ao conjunto dos números naturais. Os números naturais são tipicamente definidos como os números inteiros positivos (e às vezes zero).

III. O número $\frac{3}{4}$ é um número racional.

Verdadeira: Números racionais são aqueles que podem ser expressos como a razão de dois números inteiros, $\frac{3}{4}$ é um número racional.

IV. Os números irracionais pertencem ao conjunto dos números reais.

Verdadeira: Números irracionais são uma parte do conjunto dos números reais. Os números reais são formados pela união dos números racionais e irracionais.

Resumo das Assertivas

Correta: III, IV
Incorreta: I, II

Portanto, as alternativas corretas são:

E) Apenas III e IV.

Leia mais sobre: questão 7 conjuntos numéricos

Qual o valor da área do circulo?

Leia mais sobre: questão 8 cálculo da área do circulo

Veja abaixo a resposta da questão e aprenda calcular a área do circulo.

Questão 8

Determine a área de um círculo, em cm², cuja circunferência mede 94,2 cm. (utilize ∏ = 3,14).

A) 188,4.

B) 282,6.

C) 376,8.

D) 565,2.

E) 706,5.

Análise da Questão

Vamos resolver a questão passo a passo. A questão pede para determinar a área de um círculo cuja circunferência é de 94,2 cm. Usaremos o valor de

π=3,14 pi = 3,14

Encontrar o raio do círculo:

A fórmula para a circunferência C de um círculo é dada por:

C=2πr

onde r é o raio do círculo. Nós sabemos que a circunferência

C é 94,2 cm, então podemos usar essa fórmula para encontrar o raio.

Rearranjando a fórmula para resolver rr, temos:

r=C/2πr

Substituindo os valores conhecidos:

r=94,22/3,14*2

r=94,22/6,28

r=15,003...

Portanto, o raio

rr é aproximadamente 15 cm.

Calcular a área do círculo:

A fórmula para a área

AAde um círculo é dada por:

Area = pi * raio elevado a 2

Substituindo π=3,14 e r=15:

A=3,14*(15)2

A=3,14*(15*15)

A = 3,14* 225

A≈706,5

Portanto, a área do círculo é aproximadamente 706,5 cm².

Resposta Correta: Letra E)706,5

Leia mais sobre: questão 8 cálculo da área do circulo

Como resolver questão com triangulo retângulo usando o teorema de Pitágoras?

Leia mais sobre: questão 6 teorema de Pitágoras triangulo retângulo

Veja abaixo qual a resposta da questão e qual a melhor maneira de resolver essa ou outras questões:

QUESTÃO 06 – Considerando as medidas existentes na figura abaixo, determine o valor de x sabendo que o triângulo ABC é um triângulo retângulo. na figura B tem um ângulo de 90 graus, AC = 5,8, AB = 5, BC = X, X é o valor que preciso saber. As alternativas são:

A) 8,64 cm B) 3 cm C) √0,8 cm D) √311,4 cm E) √8,64 cm

Para resolver essa questão, precisamos aplicar o Teorema de Pitágoras, que é utilizado em triângulos retângulos. O Teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.

Lembra da música dos Mamonas?

A fórmula é:

$a^2 + b^2 = c^2$

Onde:

$c$ é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo de 90 graus)
$a$ e $b$ são os catetos (os outros dois lados do triângulo)

Na questão dada, temos:

$AC$ (hipotenusa) = 5,8 cm
$AB$ (um dos catetos) = 5 cm
$BC$ (outro cateto) = x

Substituindo os valores na fórmula do Teorema de Pitágoras, temos:

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

Substituindo os valores conhecidos:

$5^2 + x^2 = 5,8^2$

Calculando os quadrados:

$25 + x^2 = 33,64$

Isolando $x^2$ :

$x^2 = 33,64 - 25$

$x^2 = 8,64$

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

$x = \sqrt{8,64}$

Portanto, o valor de $x$ é:

$x = \sqrt{8,64}$

A alternativa correta é:

E) $\sqrt{8,64}$ cm

Melhor Maneira de Resolver Questões Semelhantes:

Identificar o tipo de triângulo: Confirme se é um triângulo retângulo.
Aplicar o Teorema de Pitágoras: Utilize a fórmula $a^2 + b^2 = c^2$ para encontrar o lado desconhecido.
Substituir os valores conhecidos: Insira os valores dados na fórmula.
Resolver a equação: Simplifique a equação para encontrar o valor desconhecido.
Tomar a raiz quadrada, se necessário: Caso a variável esteja ao quadrado, extraia a raiz quadrada do resultado.
Verificar as unidades: Certifique-se de que todas as medidas estão na mesma unidade e que o resultado final é coerente.

Seguindo esses passos, você conseguirá resolver outras questões semelhantes envolvendo triângulos retângulos e o Teorema de Pitágoras.

Tem como resolver com regra de 3?

Não é possível resolver essa questão especificamente utilizando regra de três, pois a regra de três é utilizada para resolver problemas de proporção direta ou inversa, enquanto esta questão é sobre um triângulo retângulo, o que envolve relações geométricas e não proporcionais.

Para este problema, a melhor abordagem é utilizar o Teorema de Pitágoras, conforme detalhado anteriormente. No entanto, para fins de ilustração, vamos discutir por que a regra de três não é aplicável aqui.

Por que a Regra de Três Não é Aplicável

A regra de três é uma ferramenta matemática que estabelece uma relação proporcional entre três valores conhecidos para encontrar um quarto valor desconhecido. É usada em situações como:

Proporções Diretas: Se duas quantidades aumentam ou diminuem juntas. Exemplo: Se 5 maçãs custam $10, quanto custam 8 maçãs?
Proporções Inversas: Se uma quantidade aumenta enquanto a outra diminui. Exemplo: Se 4 trabalhadores podem terminar um trabalho em 6 dias, quantos dias levarão 3 trabalhadores para fazer o mesmo trabalho?

No caso de um triângulo retângulo, a relação entre os lados não é de proporção direta ou inversa, mas sim uma relação geométrica específica definida pelo Teorema de Pitágoras. A fórmula $a^2 + b^2 = c^2$ não pode ser transformada em uma proporção simples como na regra de três.

Revisando a Solução com o Teorema de Pitágoras

Para reafirmar a solução da questão:

Identificar os lados:
- Hipotenusa $c = AC = 5,8$ cm
- Cateto $a = AB = 5$ cm
- Cateto $b = BC = x$
Aplicar o Teorema de Pitágoras:
$a^2 + b^2 = c^2$
Substituindo os valores conhecidos:
$5^2 + x^2 = 5,8^2$ $25 + x^2 = 33,64$ $x^2 = 33,64 - 25$ $x^2 = 8,64$ $x = \sqrt{8,64}$

Portanto, a resposta é: $x = \sqrt{8,64}$ A alternativa correta é: E) $\sqrt{8,64}$ cm

Leia mais sobre: questão 6 teorema de Pitágoras triangulo retângulo

Como calcular o número de combinações possíveis de senhas de 5 caracteres com um conjunto específico de restrições, utilizando os conceitos de permutação de um conjunto de elementos sem repetição?

Leia mais sobre: questão 8 análise combinatória

Veja abaixo a resposta da questão sobre Análise Combinatória, especificamente sobre permutações e contagem de combinações.

Questão 08

Para segurança do sistema financeiro da empresa, os usuários foram orientados a criar senhas de obrigatoriamente 5 caracteres com as seguintes restrições:

Não é permitido repetir caractere;
Só pode usar os algarismos decimais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
Só pode usar as vogais maiúsculas e minúsculas;
Pode usar os símbolos especiais: @, # e %.

O número de senhas geradas por essas orientações é:

A) 1.028.160.
B) 1.889.568.
C) 2.018.940.
D) 4.037.880.
E) 6.436.343.

Resolução

Para resolver esta questão, precisamos contar o número total de caracteres permitidos e calcular a quantidade de combinações possíveis para uma senha de 5 caracteres, sem repetição.

Contagem dos caracteres permitidos

Os caracteres permitidos são:

10 algarismos decimais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
10 vogais (maiúsculas e minúsculas): A, E, I, O, U, a, e, i, o, u
3 símbolos especiais: @, #, %

Total de caracteres permitidos: 10 + 10 + 3 = 23 caracteres.

Cálculo das combinações possíveis

Para formar uma senha de 5 caracteres sem repetição, utilizamos o conceito de permutação de 23 caracteres tomados 5 a 5:

O número de combinações possíveis é dado por:

[ P(23, 5) = frac{23!}{(23 - 5)!} = frac{23!}{18!} ]

Calculando o fatorial

Para simplificar o cálculo, apenas multiplicamos os primeiros 5 termos do fatorial de 23:

[ 23 x 22 x 21 x 20 x 19 ]

Resultado

Realizando a multiplicação:

23 × 22 = 506
506 × 21 = 10,626
10,626 × 20 = 212,520
212,520 × 19 = 4,037,880

Portanto, o número de senhas possíveis é 4.037.880.

Resposta Correta

A alternativa correta é D: 4.037.880.

Leia mais sobre: questão 8 análise combinatória

Questão sobre expressões comutativas

Leia mais sobre: questão 9 expressões comutativas

Veja abaixo a resposta da questão sobre conjunto dos números reais e expressões comutativas.

Questão 09

Analise as seguintes afirmações para o conjunto dos números reais:

I. A soma é comutativa.
II. A subtração é comutativa.
III. A multiplicação é comutativa.
IV. A divisão é comutativa.
V. A potenciação é comutativa.

Quais são as afirmações verdadeiras?

A) Apenas I e III.
B) Apenas I e V.
C) Apenas II e IV.
D) Apenas I, III e V.
E) Apenas II, III e V.

Resolução

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I. A soma é comutativa.
Verdadeira. A soma de dois números reais é comutativa, ou seja, (a + b = b + a).
II. A subtração é comutativa.
Falsa. A subtração não é comutativa, ou seja, (a - b ~ b - a) em geral.
III. A multiplicação é comutativa.
Verdadeira. A multiplicação de dois números reais é comutativa, ou seja, (a * b = b * a).
IV. A divisão é comutativa.
Falsa. A divisão não é comutativa, ou seja, (a / b ~ b / a) em geral.
V. A potenciação é comutativa.
Falsa. A potenciação não é comutativa, ou seja, (a^b ~ b^a) em geral.

Resposta Correta

As afirmações verdadeiras são I e III.

A alternativa correta é A: Apenas I e III.

O que é comutativa?

A comutatividade é uma propriedade matemática que indica que a ordem dos elementos não altera o resultado da operação. Em outras palavras, uma operação é comutativa se trocar a ordem dos operandos não mudar o resultado.

Para algumas operações comuns:

Soma (Adição):
- A soma de dois números é comutativa.
- Exemplo: $a + b = b + a$ . Se $a = 3$ e $b = 5$ , então $3 + 5 = 5 + 3 = 8$ .
Multiplicação:
- A multiplicação de dois números é comutativa.
- Exemplo: $a \times b = b \times a$ . Se $a = 4$ e $b = 7$ , então $4 \times 7 = 7 \times 4 = 28$ .

Por outro lado, algumas operações não são comutativas:

Subtração:
- A subtração de dois números não é comutativa.
- Exemplo: $a - b \neq b - a$ . Se $a = 9$ e $b = 4$ , então $9 - 4 \neq 4 - 9$ .
Divisão:
- A divisão de dois números não é comutativa.
- Exemplo: $a \div b \neq b \div a$ . Se $a = 10$ e $b = 2$ , então $10 \div 2 \neq 2 \div 10$ .
Potenciação:
- A potenciação de dois números não é comutativa.
- Exemplo: $a^b \neq b^a$ . Se $a = 2$ e $b = 3$ , então $2^3 \neq 3^2$ . $2^3 = 8$ e $3^2 = 9$ .

A comutatividade é uma característica importante em álgebra e outras áreas da matemática porque facilita a simplificação e a manipulação das expressões matemáticas.

Leia mais sobre: questão 9 expressões comutativas

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COMO PASSAR NO CONCURSO PÚBLICO DA PREFEITURA DE PORTO ALEGRE PARA AUDITOR FISCAL COM QUESTÕES DE MATEMÁTICA

Conteúdo

Desafio de juros compostos e montante final: sabe essa?

Resolução da Questão

Passo 1: Converter a taxa trimestral para a taxa mensal

Passo 2: Aplicar a fórmula com os dados fornecidos

Resposta Correta:

Por que as outras opções estão erradas?

Assunto da Questão

O que estudar?

O número de anagramas da palavra PREFEITURA é:

O que é um anagrama?

Como calcular o número de anagramas?

Passo 1: Contar o número de letras e as repetições

Passo 2: Aplicar a fórmula

Resposta final:

Explicação final:

A Resposta que Surpreendeu Todo Mundo! Como Resolver Juros Compostos com Facilidade

Resolução da questão:

Passo 1: Fórmula para taxas equivalentes

Passo 2: Substituindo os valores

Passo 3: Resposta final

Assunto da questão:

O que deve ser estudado:

Como resolver questão com triangulo retângulo usando o teorema de Pitágoras?

Análise das Assertivas

I. Todo número real é positivo.

II. Os números negativos inteiros pertencem ao conjunto dos números naturais e também ao conjunto dos números inteiros.

III. O número 34\frac{3}{4}43​ é um número racional.

IV. Os números irracionais pertencem ao conjunto dos números reais.

Resumo das Assertivas

Qual o valor da área do circulo?

Questão 8

Análise da Questão

Calcular a área do círculo:

Como resolver questão com triangulo retângulo usando o teorema de Pitágoras?

Melhor Maneira de Resolver Questões Semelhantes:

Tem como resolver com regra de 3?

Por que a Regra de Três Não é Aplicável

Revisando a Solução com o Teorema de Pitágoras

Como calcular o número de combinações possíveis de senhas de 5 caracteres com um conjunto específico de restrições, utilizando os conceitos de permutação de um conjunto de elementos sem repetição?

Questão 08

Resolução

Contagem dos caracteres permitidos

Cálculo das combinações possíveis

Calculando o fatorial

Resultado

Resposta Correta

Questão sobre expressões comutativas

Questão 09

Resolução

Resposta Correta

O que é comutativa?

Que jogo é esse de bolinhas coloridas que todo mundo está falando?

Quais as alternativas são corretas referente a requisições assíncronas?

Como usar o sinal de maior e menor no teclado?

III. O número $\frac{3}{4}$ é um número racional.